
% ��wiczenia na Newtona o grach

\mainlanguage[pl]

\usetypescript[pagella]
\setupbodyfont[pagella]

\usemodule[tikz]
\usetikzlibrary[calc]
\let\origstarttikzpicture=\starttikzpicture
\let\origstoptikzpicture=\stoptikzpicture
\def\starttikzpicture{\hbox\bgroup\origstarttikzpicture}
\def\stoptikzpicture {\origstoptikzpicture\egroup}

\def\todo#1{{\em \kap{do dopisania}: #1}}

%\setupinteraction[state=start]

\enablemode[nauczyciel]
%\disablemode[nauczyciel]

\def\startteacher{\grabbufferdata[teacher][startteacher][stopteacher]}
\doifmodeelse{nauczyciel}{\def\stopteacher{\par{\switchtobodyfont[small]\getbuffer[teacher]\par}}}{\def\stopteacher{}}

\def\startanswer{\par\dostartbuffer[answer][startanswer][stopanswer]}
\doifmodeelse{nauczyciel}{\def\stopanswer{{\switchtobodyfont[small]\blank[small]{\sl Odpowied��.} \getbuffer[answer]\par}}}{\def\stopanswer{}}

\def\putdotafter#1{#1.}
\setuphead[subject][style=bold,after={},alternative=text,distance=0.25em,textcommand=\putdotafter]
%\setuphead[section][numbercommand=\putdotafter]
\setuphead[chapter][sectionstopper=.,page=no]

\def\teacheronly#1{\doifmode{nauczyciel}{#1}}
\def\time#1{\doifmode{nauczyciel}{\removeunwantedspaces
    \hskip 0pt plus 6em\penalty20\ \hskip 0pt plus -6em (#1~minut)}}

\defineitemgroup[exercises]
\setupitemgroup[exercises][1][n,broad,intro][left={\headnumber[chapter]},before={},inbetween={\blank[medium]}]

\def\ppauza{\unskip\kern.2em--\hskip.2em\ignorespaces}

\starttext

\noheaderandfooterlines
\startalignment[middle]
  \tfd Gry (materia��y na ��wiczenia w~czwartek)
  \par\blank[big]
\stopalignment

\startnotmode[nauczyciel]
  \placefigure[bottom,none]{}{%
    \hbox to \textwidth{
    \externalfigure[logo-1-t][height=1.5cm]\hfil
    \externalfigure[logo-2-t][height=1.5cm]\hfil
    \externalfigure[logo-3-t][height=1.5cm]
  }}
\stopnotmode


\completecontent[alternative=a,pagestyle=slanted,distance=2pt]
\page

\startchapter[title={Gry macierzowe\time{15--20}}]

\startexercises
  \startitem
    Jakie s�� strategie optymalne dla obu graczy w~grze o~poni��szej
    macierzy?
    \startformula
      \startmathmatrix[n=2,left={\left(\,},right={\,\right)},align=right]
        \NC 1 \NC 2 \NR
        \NC 3 \NC 4 \NR
      \stopmathmatrix
    \stopformula
    \startteacher
      Macierz interpretujemy nast��puj��co: I~gracz wybiera wiersz,
      II~gracz wybiera kolumn�� (obaj robi�� to r��wnocze��nie), po czym
      II~gracz wyp��aca pierwszemu kwot�� z~przeci��cia wybranego wiersza
      i~kolumny (gra o~sumie zero: wygrana jednego gracza jest r��wna
      przegranej drugiego).
    \stopteacher
    \startanswer
      Pierwszy gracz, wybieraj��c drugi wiersz, w~ka��dym wypadku
      wygrywa wi��cej, ni�� gdyby wybra�� pierwszy; powinien wi��c wybra��
      drugi wiersz (dominuj��cy).  Drugi gracz, wybieraj��c pierwsz��
      kolumn��, w~ka��dym przypadku traci mniej, ni�� gdyby wybra�� drug��;
      powinien wi��c wybra�� pierwsz�� (dominuj��c��) kolumn��.
    \stopanswer
  \stopitem
  \startitem
    Rozwa��my gr�� z~nast��puj��c�� macierz��:
    \startformula
      \startmathmatrix[n=3,left={\left(\,},right={\,\right)},align=right]
        \NC 4 \NC 1 \NC -1 \NR
        \NC 0 \NC 1 \NC  6 \NR
        \NC 3 \NC 2 \NC 5  \NR
      \stopmathmatrix
    \stopformula
    Jaka jest optymalna strategia dla ka��dego z~graczy?
    \startanswer
      ��aden wiersz ani kolumna nie s�� dominuj��ce, ale poniewa��
      \math{2} w~trzecim rz��dzie i~drugiej kolumnie jest {\em
        najmniejsz��} warto��ci�� w~swoim rz��dzie i~{\em najwi��ksz��}
      warto��ci�� w~swojej kolumnie, optymaln�� strategi�� dla I~gracza
      jest trzecia (wygra co najmniej~\math{2} niezale��nie od
      strategii II~gracza), a~dla II~gracza druga (przegra co
      najwy��ej~\math{2} niezale��nie od strategii I~gracza).
    \stopanswer
  \stopitem
  \startitem
    Gra {\em parzyste czy nieparzyste} polega na tym, ��e dw��ch graczy
    wybiera (r��wnocze��nie) liczb�� \math{1} lub~\math{2}.  Je��li suma
    wybranych liczb jest nieparzysta, wygrywa gracz~I; je��li jest
    parzysta, wygrywa gracz~II.  Gracz, kt��ry przegra��, oddaje
    drugiemu kwot�� r��wn�� sumie wybranych liczb.  Narysujcie macierz
    tej gry.  Jaka jest optymalna strategia ka��dego z~graczy?  Czy gra
    jest sprawiedliwa?
    \startteacher
      To zadanie mo��emy opu��ci�� lub om��wi�� pobie��nie bez wi��kszej
      szkody.
    \stopteacher
    \startanswer
      Macierz:
      \startformula
        \startmathmatrix[n=2,left={\left(\,},right={\,\right)},align=right]
        \NC -2 \NC  3 \NR
        \NC  3 \NC -4 \NR
        \stopmathmatrix
      \stopformula
      Powy��sza macierz nie ma strategii dominuj��cych ani punkt��w
      siod��owych, trzeba wi��c zastosowa�� inn�� metod��.

      Za������my, ��e gracz~I wybiera~\math{1}
      z~prawdopodobie��stwem~\math{p} i~\math{2}
      z~prawdopodobie��stwem~\math{1-p}.  Wyznaczymy~\math{p} tak, ��eby
      gracz~I wygrywa�� przeci��tnie {\em tyle samo}, oboj��tnie, co
      zrobi gracz~II.

      Je��li gracz~II wybierze~\math{1}, przeci��tna wygrana~I wynosi
      \math{-2p+3(1-p)}.  Je��li II wybierze~\math{2}, przeci��tna
      wygrana~I wynosi~\math{3p-4(1-p)}.  Aby warto��ci te by��y r��wne,
      musi by�� \math{p=\frac{7}{12}}.  Zatem gracz~I powinien
      wybra��~\math{1} z~prawdopodobie��stwem \math{\frac{7}{12}},
      a~\math{2} z~prawdopodobie��stwem~\math{\frac{5}{12}}.  Jego
      przeci��tna wygrana wynosi
      \math{-2\frac{7}{12}+3\frac{5}{12}=3\frac{7}{12}-4\frac{5}{12}=\frac{1}{12}}.

      Prowadz��c podobn�� analiz�� dla gracza~II widzimy, ��e ta sama
      strategia pozwala mu uzyska�� przeci��tn��
      strat��~\math{\frac{1}{12}}.  Wynika st��d, ��e znalezionej
      strategii nie da si�� ulepszy��, a~gra nie jest sprawiedliwa
      (preferuje I~gracza).
    \stopanswer
  \stopitem
  \startitem
    Rozwa��my wariant gry {\em parzyste czy nieparzyste}, w~kt��rym
    ka��dy z~graczy wybiera jedn�� z~liczb~\math{\{0,1,2\}}.  Spr��bujcie
    znale���� optymaln�� strategi�� dla pierwszego gracza.
    \startteacher
      To zadanie opuszczamy, chyba ��e mamy grup�� geniuszy.
    \stopteacher
    \startanswer
      Nie ma ani strategii dominuj��cych, ani punkt��w siod��owych.
      Post��pujemy jak w~poprzednim ��wiczeniu; okazuje si��, ��e I~gracz
      powinien wybiera��~\math{1}
      z~prawdopodobie��stwem~\math{\frac{1}{2}} i~pozosta��e liczby
      z~prawdopodobie��stwem~\math{\frac{1}{4}}.  Uwaga: ta metoda {\em
        nie dzia��a dla ka��dej macierzy}!
    \stopanswer
  \stopitem
\stopexercises

\stopchapter

\startchapter[title={Nim-suma liczb ca��kowitych nieujemnych\time{10--15}}]

\startteacher
  Poj��cia nim-sumy {\em nie b��dzie} na wyk��adzie, trzeba je wprowadzi��
  na ��wiczeniach.  Jest to dzia��anie w~zbiorze liczb ca��kowitych
  nieujemnych okre��lone nast��puj��co: aby wyliczy�� nim-sum�� dw��ch
  liczb, przeliczamy je na uk��ad dw��jkowy, dodajemy pisemnie bez
  przeniesienia (czyli cyfry na ka��dej pozycji {\em modulo}~\math{2})
  i~wynik interpretujemy zn��w jako liczb�� w~zapisie dw��jkowym.
  Przyk��ad:
  \startformula
    6\oplus 12=(110)_2\oplus(1100)_2=(1010)_2=10.
  \stopformula
  (Okazuje si��, ��e to dzia��anie jest ����czne i~przemienne, elementem
  neutralnym jest~\math{0}, ka��dy element jest swoj�� przeciwno��ci��,
  a~ponadto nim-suma ma fundamentalne znaczenie dla analizy gry {\em
    Nim} i~pewnych innych gier.)
\stopteacher

\startexercises
  \startitem
    Przeliczcie nast��puj��ce liczby w~zapisie dw��jkowym na system
    dziesi��tkowy:
%    \startsimplecolumns
    \startitemize[a,columns,two,joinedup][stopper=)]
      \startitem
        \math{(101)_2}
      \stopitem
      \startitem
        \math{(101011)_2}
      \stopitem
    \stopitemize
%    \stopsimplecolumns
  \startanswer
    \startitemize[a,text][stopper=]
      \startitem
        \math{(101)_2=2^0+2^2=1+4=5};
      \stopitem
      \startitem
        \math{(101011)_2=1+2+8+32=43}.
      \stopitem
    \stopitemize
  \stopanswer
  \stopitem
  \startitem
    Przeliczcie nast��puj��ce liczby na system dw��jkowy:
    \startitemize[a,columns,two,joinedup][stopper=)]
      \startitem
        \math{10}
      \stopitem
      \startitem
        \math{77}
      \stopitem
    \stopitemize
  \startanswer
    \startitemize[a]
      \startitem
        \math{10=8+2=(1010)_2};
      \stopitem
      \startitem
        Aby przeliczy�� na system dw��jkowy liczb�� \math{77}, mo��na
        np. dzieli�� j�� przez~\math{2} (z~reszt��) tak d��ugo, a��
        otrzymamy zero, a~reszty wypisywa�� jako kolejne (od prawej
        strony) cyfry dw��jkowe:
        \starttabulate[|r|]
          \NC \math{77:2=38~\text{r.}~1}\NR
          \NC \math{38:2=19~\text{r.}~0}\NR
          \NC \math{19:2=9~\text{r.}~1}\NR
          \NC \math{9:2=4~\text{r.}~1}\NR
          \NC \math{4:2=2~\text{r.}~0}\NR
          \NC \math{2:2=1~\text{r.}~0}\NR
          \NC \math{1:2=0~\text{r.}~1}\NR
        \stoptabulate
        Zatem \math{77=(1001101)_2}.
      \stopitem
    \stopitemize
  \stopanswer
  \stopitem
  \startitem
    Znajd��cie nast��puj��ce nim-sumy:
    \startitemize[a,columns,two,joinedup,broad,intro][stopper=)]
      \startitem
        \math{18\oplus 0}
      \stopitem
      \startitem
        \math{13\oplus 13}
      \stopitem
      \startitem
        \math{10\oplus 77}
      \stopitem
      \startitem
        \math{10\oplus 6\oplus 12}
      \stopitem
    \stopitemize
  \startanswer
    \startitemize[a,text][stopper=]
      \startitem
        \math{18\oplus 0=18};
      \stopitem
      \startitem
        \math{13\oplus 13=0};
      \stopitem
      \startitem
        \math{10\oplus 77=71};
      \stopitem
      \startitem
        \math{10\oplus 6\oplus 12=0} (ten przyk��ad warto policzy��
        przynajmniej dwa razy, w~r����nej kolejno��ci!).
      \stopitem
    \stopitemize
  \stopanswer
  \stopitem
\stopexercises
\stopchapter

\startchapter[title={Nim\time{20--25}}]
  \startsubject[title={Zasady gry}]
    Na trzech kupkach k��adziemy kamienie (lub ��etony, patyczki itp.).
    Gracze wykonuj�� ruchy na przemian.  Ruch polega na zabraniu
    dowolnej liczby kamieni (co najmniej jednego, by�� mo��e wszystkich)
    z~dowolnej kupki.  Gracz, kt��ry we��mie ostatni kamie��, wygrywa.
  \stopsubject
  \startsubject[title={Zadania}]
    \startexercises
      \startitem
        Rozegrajcie kilka partii (mo��na zacz���� np. od kupek licz��cych
        \math{5}, \math{7} i~\math{9} kamieni).  Czy potraficie
        odkry��, kt��ry gracz ma strategi�� wygrywaj��c�� i~jak powinien
        gra��, ��eby wygra��?
      \stopitem
      \startitem
        Narysujcie graf {\em Nima} dla rozgrywki, kt��ra zaczyna si�� od
        kupek o~liczebno��ciach \math{1}, \math{1} i~\math{2}.
        (Wygodnie b��dzie opisa�� wierzcho��ki grafu tr��jkami liczb,
        np. \math{(1,1,2)}.)  Znajd��cie N-pozycje i~P-pozycje.  Przy
        ka��dej pozycji zapiszcie nim-sum�� liczebno��ci kupek.  Czy
        zauwa��yli��cie pewn�� prawid��owo����?
        \startteacher
          {\em N-pozycja} to pozycja, w~kt��rej {\em nast��pny} gracz
          (czyli ten, czyja jest kolej) wygra, je��li b��dzie gra��
          prawid��owo (oboj��tnie, co zrobi drugi gracz).  {\em
            P-pozycja} to pozycja, w~kt��rej {\em poprzedni} gracz
          (czyli ten, kt��ry do niej doprowadzi��) wygra, je��li b��dzie
          gra�� prawid��owo.  Maj��c graf gry N-pozycje i~P-pozycje
          znajduje si�� \quotation{indukcj�� wsteczn��}: pozycje ko��cowe
          to P-pozycje, pozycje, z~kt��rych mo��na doj���� jednym ruchem
          do P-pozycji to N-pozycje, za�� pozycje, z~kt��rych {\em
            ka��dy} ruch prowadzi do N-pozycji to zn��w P-pozycje
          (w~szczeg��lno��ci warunek ten spe��niaj�� pozycje ko��cowe!).
        \stopteacher
        \startanswer
          \placefigure[none,middle]{}{%
            \starttikzpicture[x=2.5cm,y=-2cm]
              \def\pos#1#2#3#4#5{$(#1,#2,#3)^{#4}$\rlap{\!,\,#5}}
              \node (112) at (0,0) {\hphantom{\!,\,2}\pos112N2\hphantom{\!,\,2}};
              \node (012) at (-1,1) {\pos012N3};
              \node (102) at (0,1) {\pos102N3};
              \node (111) at (1,1) {\pos111N1};
              \node (002) at (-2,2) {\pos002N2};
              \node (011) at (-1,2) {\pos011P0};
              \node (101) at (1,2) {\pos101P0};
              \node (110) at (2,2) {\pos110P0};
              \node (001) at (-1,3) {\pos001N1};
              \node (010) at (0,3) {\pos010N1};
              \node (100) at (1,3) {\pos100N1};
              \node (000) at (0,4) {\pos000P0};
              \startscope[->]
                \draw (112) -- (012);
                \draw (112) -- (102);
                \draw (112) -- (111);
                \draw (112) -| (110);
                \draw (012) -- (002);
                \draw (012) -- (011);
                \draw (012) -- (010);
                \draw (102) -- (002);
                \draw (102) -- (101);
                \draw (102) -- (100);
                \draw (111) -- (011);
                \draw (111) -- (101);
                \draw (111) -- (110);
                \draw (002) -- (001);
                \draw (002) |- (000);
                \draw (011) -- (001);
                \draw (011) -- (010);
                \draw (101) -- (001);
                \draw (101) -- (100);
                \draw (110) -- (010);
                \draw (110) -- (100);
                \draw (001) -- (000);
                \draw (010) -- (000);
                \draw (100) -- (000);
              \stopscope
            \stoptikzpicture}
          P-pozycje to dok��adnie te pozycje, dla kt��rych nim-suma
          liczebno��ci kupek wynosi~\math{0}.
        \stopanswer
      \stopitem
      \startitem
        Kt��ry gracz ma strategi�� wygrywaj��c��, je��li pocz��tkowe
        liczebno��ci kupek wynosz�� \math{(3,5,9)}?  A~\math{(3,5,6)}?
        (W~jednej z~tych sytuacji pierwszy gracz wygrywa, o~ile b��dzie
        gra�� prawid��owo.  Jaki powinien by�� jego pierwszy ruch?  Ile
        istnieje takich \quotation{wygrywaj��cych} ruch��w?)
        \startanswer
          \math{3\oplus 5\oplus 9=15\ne 0}, wi��c jest to N-pozycja
          i~pierwszy gracz wygrywa.  Poniewa�� \math{3\oplus 5=6}, mo��e
          wzi���� \math{3}~kamienie z~trzeciej kupki (zostawiaj��c na
          niej~\math{6}; przy okazji wida��, ��e \math{3,5,6} jest
          P-pozycj�� i~gracz startuj��cy z~niej przegrywa).  Poniewa��
          \math{3\oplus 9=10>5}, zabranie ��adnej liczby kamieni
          z~drugiej kupki nie pozwala wygra�� pierwszemu graczowi;
          analogicznie jest z~pierwsz�� kupk�� (\math{5\oplus 9=12>3}).
          Zatem jedyny wygrywaj��cy ruch to zabranie \math{3}~kamieni
          z~trzeciej kupki.
        \stopanswer
      \stopitem
      \startitem
        Wymy��lcie kilka wariant��w {\em Nima}; sprawd��cie, jak si��
        w~nie gra.
        \startanswer
          Mo��na zwi��kszy�� liczb�� kupek, wprowadzi�� minimaln�� lub
          maksymaln�� liczb�� kamieni, jakie mo��na zabra�� w~jednym
          ruchu, zmieni�� warunek wygranej na przeciwny (przegrywa
          gracz, kt��ry we��mie ostatni kamie��) i~in.  (Jeden
          z~wariant��w {\em Nima}, {\em Wythoff}, jest przedmiotem
          kolejnego zadania.)
        \stopanswer
      \stopitem
    \stopexercises
  \stopsubject
\stopchapter

\startchapter[title={Wythoff\time{20--30}}]
  \startsubject[title={Zasady gry}]
    Gra przebiega podobnie jak {\em Nim}, z~dwiema r����nicami: s�� tylko
    dwie kupki kamieni, ale opr��cz zabrania dowolnej liczby kamieni
    z~wybranej kupki mo��na te�� zabra�� dowoln�� liczb�� kamieni z~{\em
      obu} kupek na raz, pod warunkiem, ��e we��miemy ich {\em tyle
      samo} z~ka��dej z~nich.
  \stopsubject
  \startsubject[title={Zadania}]
    \startexercises
      \startitem
        Rozegrajcie kilka partii (dla r����nych liczebno��ci pocz��tkowych
        kupek).  Jakimi wynikami mo��e si�� zako��czy�� {\em Wythoff}?
        \startanswer
          Wygran�� kt��rego�� z~graczy\ppauza remis jest niemo��liwy.
        \stopanswer
      \stopitem
      \startitem[2]
        Znajd��cie przyk��adowe P-pozycje i N-pozycje.
        \startanswer
          Przyk��adowe P-pozycje: \math{(1,2)}, \math{(3,5)}.
          Przyk��adowe N-pozycje: \math{(0,n)}, \math{(n,n)},
          \math{(1,966)}.
        \stopanswer
      \stopitem
      \startitem[3]
        Rozwa��my nast��puj��c�� gr��.  Na pewnym polu szachownicy
        ustawiamy pionek.  W~ka��dym ruchu mo��na przesun���� go o~dowoln��
        liczb�� p��l w~d����, w~lewo b��d�� ukosem w~lewo-d����.  Zauwa��cie,
        ��e gra ta w~istocie nie r����ni si�� od {\em Wythoffa}.
      \stopitem
      \startitem
        Naszkicujcie graf {\em Wythoffa} dla gry rozpoczynaj��cej si�� od kupek
        licz��cych \math{1} i~\math{2} kamieni.
        \startanswer
          \starttikzpicture[x=3cm,y=1cm,baseline=(01.base)]%{($(0,1)-(0,.5ex)$)}]
            \def\pos#1#2#3{\math{(#1,#2)^{#3}}}
            \node (00) at (0,0) {\pos00P};
            \node (10) at (1,0) {\pos10N};
            \node (20) at (2,0) {\pos20N};
            \node (01) at (0,1) {\pos01N};
            \node (11) at (1,1) {\pos11N};
            \node (21) at (2,1) {\pos21P};
            \startscope[->]
              \draw (21) -- (11);
              \draw (21) -- +(0,.5) -| (01);
              \draw (21) -- (10);
              \draw (21) -- (20);
              \draw (11) -- (01);
              \draw (11) -- (00);
              \draw (11) -- (10);
              \draw (01) -- (00);
              \draw (20) -- (10);
              \draw (20) -- +(0,-.5) -| (00);
              \draw (10) -- (00);
            \stopscope
          \stoptikzpicture
        \stopanswer
      \stopitem
      \startitem
        Opiszcie uk��ady pocz��tkowe, kt��re gwarantuj�� wygran�� II~graczowi
        (czyli P-pozycje).
        \startanswer
          Uwaga: poni��sze rozumowanie lepiej wida�� na obrazku
          (odr��cznie).

          Opr��cz tych wymienionych w~odpowiedzi do \in{punktu}{.}[2],
          uk��ady takie to m.in. \math{(4,7)}, \math{(6,10)} itd.
          Ka��dy taki uk��ad powstaje z~poprzedniego w~nast��puj��cy
          spos��b: bierzemy najmniejsz�� liczb�� naturaln��~\math{n_1},
          kt��ra dot��d nie wyst��pi��a w~��adnym uk��adzie\ppauza b��dzie to
          liczba kamieni w~mniejszej kupce; w~wi��kszej kupce b��dzie
          \math{n_2=n_1+d} kamieni, gdzie r����nica~\math{d} jest
          o~jeden wi��ksza ni�� r����nica liczebno��ci kupek w~poprzednim
          uk��adzie.

          Takie pary liczb maj�� odpowiednie w��asno��ci.  Po pierwsze,
          nie mo��na (zabieraj��c kamienie zgodnie z~zasadami) przej����
          od ��adnego z~tych uk��ad��w do ��adnego z~poprzednich: poniewa��
          ka��da liczba naturalna wyst��puje w��r��d opisanych uk��ad��w
          dok��adnie raz (dlaczego?), zabieraj��c kamienie z~{\em
            jednej} kupki nie jeste��my w~stanie przej���� do jednego
          z~poprzednich uk��ad��w; poniewa�� za�� {\em r����nice} r��wnie��
          si�� nie powtarzaj��, zabieraj��c kamienie z~{\em obu} kupek
          r��wnie�� nie dojdziemy do ��adnego z~poprzednich uk��ad��w.

          Po drugie, je��li startujemy z~uk��adu innego ni�� kt��ry��
          z~powsta��ych w~opisany spos��b, zawsze mo��emy doj���� do
          kt��rego�� z~nich; naj��atwiej zobaczy�� to rysuj��c je na
          szachownicy i~korzystaj��c z~wersji {\em Wythoffa} opisanej
          w~\in{punkcie}[3].

          W��asno��ci te powoduj��, ��e ka��dy z~opisanych uk��ad��w prowadzi
          do wygranej gracza, kt��rego ruch akurat przypada, a~ka��dy
          inny uk��ad do jego przegranej.
        \stopanswer
      \stopitem
    \stopexercises
  \stopsubject
\stopchapter

\startchapter[title={Hex\time{15--20}}]
  \startsubject[title={Zasady gry}]
    Gra toczy si�� na planszy w~kszta��cie rombu z��o��onej z~p��l
    w~kszta��cie sze��ciok��t��w foremnych; boki rombu s�� oznaczone
    kolorem bia��ym b��d�� czarnym tak, ��e przeciwleg��e boki maj�� ten sam
    kolor.  Gracze na przemian zagrywaj�� swoje piony (gracz~I bia��e,
    gracz~II czarne) na tych polach; raz po��o��ony na planszy pion
    pozostaje w~tym samym miejscu do ko��ca gry.  Wygrywa ten z~graczy,
    kt��ry po����czy boki rombu w~\quotation{swoim} kolorze ��a��cuchem
    swoich pion��w (tj. ci��giem pion��w le����cych na polach stykaj��cych
    si�� bokami).

    \def\hexboard#1#2{%
      \coordinate (w) at (1,0);
      \coordinate (e) at ($(2,0)+#1*(3,0)$);
      \coordinate (n) at ($(0,1.155)+(1.5,-0.866)+#1*(1.5,0.866)$);
      \coordinate (s) at ($(0,-1.155)+(1.5,0.866)+#1*(1.5,-0.866)$);
      \coordinate (c) at ($(1.5,0)+#1*(1.5,0)$);
      \filldraw[fill=black!40] (w) -- (c) -- (n) -- cycle;
      \filldraw[fill=black!40] (s) -- (c) -- (e) -- cycle;
      \filldraw[fill=white] (w) -- (c) -- (s) -- cycle;
      \filldraw[fill=white] (n) -- (c) -- (e) -- cycle;
      \foreach \ROW in {1,...,#1}
      \foreach \COL in {1,...,#1}
               {
                 \filldraw[fill=white,
                   shift={($\ROW*(30:1.732)+\COL*(-30:1.732)$)}]
                 (0:1) -- (60:1) -- (120:1) -- (180:1) -- (240:1)
                 -- (300:1) -- cycle;
               }
      \foreach \ROW in {1,...,#1}
        \node at ($\ROW*(30:1.732)+(-30:1.732)+(150:1.732)$)
            {\switchtobodyfont[#2]\Characters{\ROW}};
      \foreach \COL in {1,...,#1}
        \node at ($\COL*(-30:1.732)+(30:1.732)+(-150:1.732)$)
            {\switchtobodyfont[#2]\COL};
    }
    \placefigure[none,middle]{}{%
      \starttikzpicture[scale=0.5]
        \hexboard{5}{6pt}
      \stoptikzpicture}
  \stopsubject
  \startsubject[title={Zadania}]
    \startexercises
      \startitem
        Rozegrajcie kilka partii na planszach r����nych wymiar��w
        (\math{2\times 2}, \math{3\times 3}, \math{4\times 4},
        \math{5\times 5}).  Kt��ry gracz ma strategi�� wygrywaj��c�� na
        ma��ych planszach?
      \stopitem
      \startitem
        Jakimi wynikami mo��e sko��czy�� si�� {\em Hex}?
        \startanswer
          Wygran�� kt��rego�� z~graczy\ppauza remis jest niemo��liwy.
        \stopanswer
      \stopitem
      \startitem
        Udowodnijcie, ��e pierwszy gracz ma strategi�� wygrywaj��c�� na
        planszy dowolnego rozmiaru.
        \startanswer
          Mo��na zastosowa�� rozumowanie zwane {\em kradzie����
            strategii}.  Gdyby to {\em drugi gracz} mia�� strategi��
          wygrywaj��c�� (czyli mia�� {\em optymaln��} odpowied�� na ka��dy
          ruch pierwszego, prowadz��cy do wygranej), pierwszy gracz
          m��g��by zrobi�� pierwszy ruch dowolnie, a~potem
          \quotation{zapomnie��} o~nim i~traktowa�� odpowied�� drugiego
          jako \quotation{pierwszy} ruch i~stosowa�� wygrywaj��c��
          strategi�� (jako \quotation{drugi} gracz).  Gdyby strategia
          ta wymaga��a postawienia pionu tam, gdzie gracz ten ju��
          postawi�� sw��j pion (np. w~pierwszym ruchu), mo��na postawi��
          pion gdziekolwiek.  Poniewa�� stoj��cy gdzie�� pion pierwszego
          gracza w~niczym nie mo��e {\em pogorszy��} jego sytuacji,
          opisane post��powanie prowadzi do wygranej pierwszego gracza,
          wbrew za��o��eniu, ��e to drugi ma strategi�� wygrywaj��c��.
        \stopanswer
      \stopitem
      \startitem
        Kt��ry gracz ma strategi�� wygrywaj��c�� na planszy \math{3\times
          3}, je��li bia��e nie mog�� w~pierwszym ruchu zagra�� na ��rodku
        planszy?
        \startteacher
          Zadanie otwarte, do dyskusji/eksperyment��w.
        \stopteacher
      \stopitem
    \stopexercises
  \stopsubject
\stopchapter

\startchapter[title={Zakre��l do pi��tnastu\time{15--20}}]
  \startsubject[title={Zasady gry}]
    Wypisujemy na kartce liczby od~\math{1} do~\math{9}.  Gracze na
    przemian zakre��laj�� liczb�� (ka��dy swoim kolorem).  Gracz, kt��ry
    jako pierwszy w��r��d \quotation{swoich} liczb b��dzie mia�� tr��jk��
    liczb, kt��rych suma wynosi~\math{15}, wygrywa.
  \stopsubject
  \startsubject[title={Zadania}]
    \startexercises
      \startitem
        Jakimi wynikami mo��e zako��czy�� si�� gra?
        \startanswer
          Wygran�� jednego z~graczy lub remisem.
        \stopanswer
      \stopitem
      \startitem
        Rozegrajcie kilka\ppauza kilkana��cie gier.  Czy pierwszy gracz
        mo��e zawsze wygra��?  A~drugi?
        \startanswer
          Nie, gdy obaj gracze graj�� optymalnie, gra ko��czy si��
          remisem.  (Optymaln�� strategi�� zobaczymy za chwil��.)
        \stopanswer
      \stopitem
      \startitem
        Wypiszcie wszystkie tr��jki liczb ze zbioru
        \math{\{1,2,\dots,9\}}, kt��re sumuj�� si�� do~\math{15}.  Jak
        wypisa�� je \quotation{po kolei}, czyli tak, by ��adnej nie
        pomin���� i~��adnej nie wypisa�� wi��cej ni�� jeden raz?  Ile ich
        jest?  Kt��re liczby ile razy wyst��puj�� w~tych tr��jkach?
        \startanswer
          \math{(1,5,9)}, \math{(1,6,8)}, \math{(2,4,9)},
          \math{(2,5,8)}, \math{(2,6,7)}, \math{(3,4,8)},
          \math{(3,5,7)}, \math{(4,5,6)}.  Ka��da tr��jka wypisana jest
          rosn��co i~wypisane s�� w~porz��dku leksykograficznym.  Tr��jek
          jest \math{8}, a~poszczeg��lne liczby wyst��puj�� w~nich:
          \math{5} czterokrotnie, \math{2,4,6,8} trzykrotnie,
          \math{1,3,7,9} dwukrotnie.
        \stopanswer
      \stopitem
      \startitem
        Jak u��o��y�� liczby od \math{1} do~\math{9}, ��eby by��o ��atwiej
        gra��, tj. ��eby tr��jki sumuj��ce si�� do~\math{15} by��y
        \quotation{dobrze widoczne}?
        \startanswer
          U��o��enie ich np. w~nast��puj��cym {\em kwadracie magicznym}
          \starttabulate[|c|c|c|][before={},after={}]
            \NC 2 \NC 9 \NC 4 \NC\NR
            \NC 7 \NC 5 \NC 3 \NC\NR
            \NC 6 \NC 1 \NC 8 \NC\NR
          \stoptabulate
          pokazuje, ��e rozwa��ana gra jest to po prostu
          {\em K����ko i~krzy��yk} w~przebraniu.
        \stopanswer
      \stopitem
    \stopexercises
  \stopsubject
\stopchapter

\startchapter[title={K����ko i~krzy��yk\time{15--20}}]
  \startsubject[title={Zasady gry}]
    Znane ka��demu (?).
  \stopsubject
  \startsubject[title={Zadania}]
    \startexercises
      \startitem
        Jakie s�� mo��liwe wyniki w~grze w~{\em K����ko i~krzy��yk}?
        \startanswer
          Wygrana jednego z~graczy lub remis.
        \stopanswer
      \stopitem
      \startitem
        Narysujcie dwa pocz��tkowe poziomy drzewa gry.  Narysujcie
        jedn�� lub dwie ga����zie a�� do zako��czenia gry.
        \startanswer
          (odr��cznie)
        \stopanswer
      \stopitem
      \startitem
        Oszacujcie liczb�� mo��liwych rozgrywek w~{\em K����ko i~krzy��yk}.
        \startanswer
          \startitemize[a,packed][stopper=)]
            \startitem
              Prostym ograniczeniem g��rnym jest \math{9!=362\,880}.
            \stopitem
            \startitem
              Je��li wzi���� pod uwag�� symetrie w~pocz��tkowych dw��ch
              ruchach (w~p����niejszych ruchach staje si�� to bardziej
              skomplikowane), mo��na post��powa�� nast��puj��co.  Pierwszy
              ruch mo��na wykona�� na \math{3} sposoby (��rodek, r��g,
              bok).  Je��li pierwszy ruch by�� w~��rodku, drugi ruch mo��e
              zosta�� wykonany na \math{2} sposoby; je��li w~rogu lub na
              boku, na \math{5} sposob��w.  Zatem pierwsze dwa ruchy
              mo��na wykona�� na \math{1\cdot 2+2\cdot 5=12} sposob��w,
              a~pozosta��e siedem na nie wi��cej ni�� \math{7!=5040}
              sposob��w; zatem wszystkich gier mo��e by�� najwy��ej
              \math{12\cdot 7!=60\,480}.
            \stopitem
            \startitem
              Je��li wzi���� pod uwag�� symetrie do trzeciego ruchu,
              analogiczne rozumowanie pokazuje, ��e liczba mo��liwych
              rozgrywek nie przekracza
              \startformula
                (2\cdot4+2\cdot4+3\cdot7)\cdot 6!=30\,960.
              \stopformula
            \stopitem
            \startitem
              Powy��sza analiza nie bierze pod uwag�� ani mo��liwych
              symetrii w~dalszych ruchach, ani tego, ��e niekt��re gry
              ko��cz�� si�� przed zape��nieniem planszy.  W~2002 roku
              obliczono, ��e dok��adna liczba rozgrywek w~{\em k����ko
                i~krzy��yk} wynosi \math{26\,830}.
            \stopitem
          \stopitemize
        \stopanswer
      \stopitem
      \startitem
        Rozegrajcie kilka gier.  Co powinien zrobi�� pierwszy gracz?
        Jaki ruch pierwszego gracza {\em gwarantuje} mu wygran��,
        niezale��nie od tego, jak gra drugi gracz?  A~jaki {\em
          gwarantuje} przegran��, je��li drugi gracz gra optymalnie?
        \startanswer
          Oboj��tnie, co zrobi pierwszy gracz w~pierwszym ruchu, je��li
          w~dalszym ci��gu b��dzie gra�� optymalnie, nie przegra; jednak
          ��aden ruch nie gwarantuje mu wygranej.  (Nie b��dziemy tego
          rozpisywa��/dowodzi��.)
        \stopanswer
      \stopitem
      \startitem
        Jak wygl��da macierz gry w~{\em K����ko i~krzy��yk}?
        \startanswer
          \quotation{Strategiami} ka��dego z~graczy b��d�� funkcje, kt��re
          ka��dej {\em sytuacji} na planszy przyporz��dkowuj�� {\em
            ruch}.  Oczywi��cie, r����ne uk��ady strategii I i~II gracza
          b��d�� prowadzi�� do r����nych wynik��w gry.
        \stopanswer
      \stopitem
      % \startitem
      %   Opiszcie w��asno��ci gry w~k����ko i~krzy��yk.
      %   \startanswer
      %     Jest dw��ch graczy; gracze wykonuj�� ruchy kolejno, a~nie
      %     jednocze��nie (chyba, ��e przez \quotation{ruch} b��dziemy
      %     rozumie�� \quotation{wyb��r strategii} (w~sensie poprzedniego
      %     zadania)); gracze dysponuj�� pe��n�� informacj��; gra ko��czy si��
      %     po sko��czenie wielu ruchach (maksymalnie dziewi��ciu);
      %   \stopanswer
      % \stopitem
      \startitem
        Opiszcie optymaln�� strategi�� w~{\em K����ko i~krzy��yk} dla I i~II
        gracza.
        \startanswer
          Oto przyk��adowy zapis strategii optymalnej (co ciekawe,
          dzia��aj��cy dla ka��dego gracza).  W~ka��dej sytuacji nale��y
          sprawdza��, czy kolejne punkty maj�� zastosowanie, i~je��li
          tak, wykona�� opisan�� w~nich akcj��.
          \startitemize[a,packed][stopper=)]
            \startitem[a]
              Je��li masz dwa symbole w~rz��dzie, a~trzecie miejsce jest
              puste, zakre��l to puste miejsce; {\em wygrywasz}.
            \stopitem
            \startitem
              Je��li przeciwnik ma dwa symbole w~rz��dzie, a~trzecie
              miejsce jest puste, zakre��l to puste miejsce.
            \stopitem
            \startitem
              Je��li mo��esz, stw��rz {\em zagro��enie}, czyli sytuacj��,
              w~kt��rej masz {\em dwa} rz��dy z~dwoma swoimi symbolami
              i~trzecim pustym miejscem.
            \stopitem
            \startitem
              Je��li w~nast��pnym ruchu przeciwnik b��dzie w~stanie
              utworzy�� {\em zagro��enie}, utw��rz sytuacj�� opisan��
              w~\in{punkcie}{)}[a].
            \stopitem
            \startitem
              Je��li ��rodek jest wolny, zagraj w~nim.
            \stopitem
            \startitem
              Je��li przeciwnik zagra�� w~naro��niku i~przeciwleg��y
              naro��nik jest wolny, zagraj w~nim.
            \stopitem
            \startitem
              Je��li kt��rykolwiek naro��nik jest wolny, zagraj w~nim.
            \stopitem
            \startitem
              Zagraj gdziekolwiek.
            \stopitem
          \stopitemize
        \stopanswer
      \stopitem
      \startitem
        Wymy��lcie kilka wariant��w {\em K����ka i~krzy��yka}.
        \startanswer
          Do znanych wariant��w nale���� np. {\em K����ko i~krzy��yk} na
          planszy \math{4\times 4} (do wygranej trzeba mie�� \math{4}
          swoje symbole w~wierszu, kolumnie lub na przek��tnej), {\em
            gomoku} (do wygranej trzeba mie�� \math{5} symboli, plansza
          ma rozmiar \math{19\times19}), {\em K����ko i~krzy��yk}
          tr��jwymiarowe (i~w~wy��szych wymiarach), {\em Anty-k����ko
            i~krzy��yk}, gdzie gracz, kt��ry ma trzy symbole w~rz��dzie,
          przegrywa, {\em kwantowe K����ko i~krzy��yk} i~wiele innych.
        \stopanswer
      \stopitem
    \stopexercises
  \stopsubject
\stopchapter

\startchapter[title={Kie��ki\time{10--15}}]
  \startsubject[title={Zasady gry}]
    Na kartce rysujemy cztery kropki (lub inn�� ich liczb��).  Gracze
    wykonuj�� ruchy na przemian.  Ruch polega na po����czeniu dw��ch
    wybranych kropek lini�� i~narysowaniu na tej linii (ale nie na
    ��adnym z~ko��c��w) kolejnej kropki, przy czym nale��y przestrzega��
    nast��puj��cych dw��ch zasad:
    \startitemize[r,text][stopper=]
      \startitem
        linie nie mog�� si�� przecina��,
      \stopitem
      \startitem[kielki2]
        z~jednej kropki mog�� wychodzi�� co najwy��ej trzy linie.
      \stopitem
    \stopitemize
    Gracz, kt��ry nie mo��e wykona�� ruchu zgodnie z~tymi zasadami,
    przegrywa.
  \stopsubject
  \startsubject[title={Zadania}]
    \startexercises
      \startitem
        Rozegrajcie kilka partii.  Czy potraficie gra�� tak, ��eby gra
        si�� {\em nie} sko��czy��a?
      \stopitem
      \startitem
        Udowodnijcie, ��e gra w~{\em Kie��ki} zawsze ko��czy si�� po sko��czenie
        wielu ruchach.
        \startanswer
          Na pocz��tku jest \math{4\times 3=12} mo��liwych ko��c��w linii,
          bo z~ka��dej z~\math{4} kropek mog�� wychodzi��
          maksymalnie~\math{3} linie.  W~ka��dym ruchu, rysuj��c lini��,
          zmniejszamy t�� liczb�� o~\math{2} (\quotation{wykorzystujemy}
          dwa mo��liwe ko��ce) i~zwi��kszamy o~\math{1} (bo dorysowana
          kropka mo��e by�� ko��cem tylko dla jednej linii, zgodnie
          z~\in{zasad��}[kielki2]).
        \stopanswer
      \stopitem
    \stopexercises
  \stopsubject
\stopchapter

\startchapter[title={Gry w~ko��ci\time{10--20}}]
  \startexercises
    \startitem
      Rozwa��my nast��puj��c�� gr��.  Rzucamy ko��ci�� (symetryczn��,
      sze��cienn��), po czym, je��li chcemy, rzucamy ponownie (ale
      najwy��ej raz).
      \startitemize[a,packed][stopper=)]
        \startitem
          Jak b��dzie wygl��da��a macierz tej gry?
          \startanswer
            W~wierszach b��d�� znajdowa�� si�� {\em strategie gracza},
            czyli \quotation{przepisy} okre��laj��ce spos��b post��powania
            (tj. czy przerzucamy ko���� czy nie) dla ka��dego wyniku
            pierwszego rzutu.  W~kolumnach b��d�� znajdowa�� si�� {\em
              strategie przyrody}, czyli wyniki dw��ch kolejnych rzut��w
            ko��ci��.
          \stopanswer
        \stopitem
        \startitem
          Ile jest mo��liwych strategii gracza, a~ile przyrody w~tej
          grze?
          \startanswer
            Gracz ma \math{2^6=64} strategie: dla ka��dego z~sze��ciu
            mo��liwych wynik��w niezale��nie okre��lamy, czy przerzucamy
            ko����, czy nie (zasada mno��enia lub wariacje
            z~powt��rzeniami\ppauza sze���� razy wybieramy niezale��nie
            jedn�� z~dw��ch mo��liwo��ci).  Przyroda ma \math{6^2=36}
            strategii.
          \stopanswer
        \stopitem
        \startitem
          Rozwa��my nast��puj��c�� strategi��: \quotation{je��li wypadnie
            \math{k} lub mniej oczek, przerzucamy ko����, w~przeciwnym
            wypadku pozostajemy przy wyniki pierwszego rzutu}.  Jakie
          powinno by�� \math{k}, aby warto���� oczekiwana wyniku by��a
          najwi��ksza?
          \startanswer
            Warto���� oczekiwana wynosi
            \startformula
              k(\tfrac{1}{6^2}1+\cdots+\tfrac{1}{6^2}6)
                +\bigl(\tfrac{1}{6}(k+1)+\cdots+\tfrac{1}{6}6\bigr)
              =\tfrac{1}{12}(-k^2+6k+42),
            \stopformula
            a~wi��c osi��ga maksimum dla \math{k_{\rm max}=3}.
          \stopanswer
        \stopitem
      \stopitemize
    \stopitem
    \startitem
      Rozwa��my podobn�� gr��, w~kt��rej mo��na przerzuci�� ko���� co najwy��ej
      dwa razy.
      \startitemize[a,packed][stopper=)]
        \startitem
          Ile jest mo��liwych strategii gracza w~tej grze?
          \startanswer
            Po pierwszym rzucie mamy tym razem nie dwie mo��liwo��ci
            (pozostanie b��d�� przerzucenie), ale \math{1+2^6}
            mo��liwo��ci: pozostanie (jeden spos��b) b��d�� kontynuacja
            (\math{2^6} sposob��w na mocy poprzedniego zadania).
            Poniewa�� dalsze post��powanie okre��lamy niezale��nie dla
            ka��dego z~sze��ciu wynik��w, analogicznie jak poprzednio
            mamy
            \startformula
              (1+2^6)^6=75\,418\,890\,625
            \stopformula
            mo��liwych strategii.
          \stopanswer
        \stopitem
        \startitem
          Kt��ra strategia jest korzystniejsza (daje wi��ksz�� warto����
          oczekiwan��): \quotation{rzucamy tak d��ugo, a�� wypadnie
            wi��cej ni�� \math{3} oczka, ale nie wi��cej ni�� trzy razy},
          czy \quotation{je��li w~pierwszym rzucie wypad��a sz��stka,
            pozostajemy przy tym wyniku, w~przeciwnym przypadku
            rzucamy drugi raz; je��li w��wczas wypadnie wi��cej ni�� trzy
            oczka, pozostajemy przy tym wyniku, a~je��li nie, rzucamy
            po raz ostatni}?
          \startanswer
            Pierwsza strategia daje warto���� oczekiwan��
            \math{4\frac{5}{8}=4{,}625}, za�� druga
            \math{4\frac{13}{24}\approx 4{,}542}.
          \stopanswer
        \stopitem
      \stopitemize
    \stopitem
    \startitem
      Rozwa��my nast��puj��c�� gr��: rzucamy par�� ko��ci, po czym mo��emy raz
      przerzuci�� jedn��, drug�� lub obie ko��ci.  Wynikiem jest suma
      oczek na obu ko��ciach, chyba, ��e wypad��y dwie sz��stki, w��wczas
      wynik wynosi zero.  Jak�� zaproponowaliby��cie strategi�� w~tej
      grze?
      \startanswer
        Pytanie otwarte, nie jeste��my w~stanie ��atwo wyliczy��
        strategii maksymalizuj��cej warto���� oczekiwan�� wyniku w~tej
        grze.  Warto przedyskutowa�� kilka problem��w zwi��zanych z~t��
        gr��, np. liczb�� mo��liwych strategii (mo��na przyj����, ��e ko��ci
        s�� rozr����nialne lub nie!), spos��b post��powania, gdy wypadnie
        jedna sz��stka (np. gdy przerzucimy tylko drug�� ko����, warto����
        oczekiwana wyniesie
        \startformula
          \tfrac{1}{6}(6+1)+\cdots+\tfrac{1}{6}(6+5)+\tfrac{1}{6}\cdot0
          =7\tfrac{1}{2}\text{,}
        \stopformula
        wi��c je��li na drugiej ko��ci wypad��o wi��cej ni��~\math{1}, nie
        warto jej przerzuca��), wariant, w~kt��rym za dwie sz��stki
        otrzymujemy \math{-6} punkt��w.
      \stopanswer
    \stopitem
  \stopexercises
\stopchapter

\startchapter[title={Projektowanie w��asnej gry\time{reszta
      czasu, \hskip 0pt plus 4em\penalty20\hskip 0pt plus -4em\relax 20--60}}]
  \startsubject[title={Pocz��tkowe zasady gry}]
    Gracze s�� w��a��cicielami fabryk znajduj��cych si�� nad rzek��.
    Produkcja jest zwi��zana z~powstawaniem odpad��w, kt��re w��a��ciciele
    wylewaj�� do rzeki.  Gdy poziom zanieczyszcze�� oka��e si�� zbyt du��y,
    nast��puje kontrola i~wszystkie fabryki zostaj�� zamkni��te.  Wygrywa
    ten, kt��ry zdo��a�� do tego momentu wyprodukowa�� najwi��cej (zarobi��
    najwi��cej pieni��dzy).

    We wsp��lnej puli k��adziemy kamienie (patyczki, sztony...)
    w~liczbie dziesi��ciokrotnie wi��kszej od liczby graczy.  Gracze
    kolejno rzucaj�� kostk��.  Po rzucie ka��dy gracz zabiera tyle
    kamieni, ile wyrzuci�� oczek.  Gdy kamienie si�� sko��cz��, wygrywa
    gracz, kt��ry zebra�� ich najwi��cej.
  \stopsubject
  \startsubject[title={Zadania}]
    \startexercises[2*broad]
      \startitem
        Wymy��lcie tytu�� dla tej gry.
      \stopitem
      \startitem
        Powy��sze zasady zawieraj�� pewn�� niejasno����.  Znajd��cie j��.
        \startanswer
          Nie wiadomo, co zrobi��, gdy gracz ko��cz��cy gr�� ma wzi���� {\em
            wi��cej} kamieni, ni�� pozosta��o w~puli: czy powinien wzi����
          tyle, ile ich tam jest, czy wpierw uzupe��ni�� pul��
          odpowiedni�� liczb�� kamieni i~wzi���� tyle, ile wskazuje
          kostka.
        \stopanswer
      \stopitem
      \startitem
        Czy ta gra zawsze si�� sko��czy?  Jaka jest minimalna, ��rednia
        i~maksymalna liczba ruch��w?
        \startanswer
          Tak\ppauza jest sko��czenie wiele kamieni, w~ka��dym ruchu
          zabiera si�� co najmniej jeden.  Najmniej ruch��w b��dzie, gdy
          wszyscy b��d�� wyrzucali sz��stki: \math{\lceiling
            10n/6\rceiling}, gdzie \math{n} to liczba graczy.
          Najwi��cej ruch��w (\math{10n}) b��dzie, gdy wszyscy b��d��
          wyrzucali jedynki.  ��rednio b��dzie \math{\lceiling
            10n/3{,}5\rceiling} ruch��w.
        \stopanswer
      \stopitem
      \startitem
        Powy��ej opisana gra jest bardzo nudna.  Dlaczego?
        \startanswer
          Poniewa�� gracze nie podejmuj�� ��adnych decyzji, wszystko
          rozstrzygaj�� rzuty ko����mi.
        \stopanswer
      \stopitem
      \startitem
        Jak mo��na ulepszy�� t�� gr��?
        \startanswer
          Oto (otwarta) lista pomys����w (niekt��re z~nich s�� {\em z��e},
          ale niech uczniowie sami do tego dojd��!).  Warto zwr��ci��
          uwag��, ��e {\em dobry} pomys�� oznacza nie tylko, ��e gra staje
          si�� interesuj��ca (trzeba podejmowa�� nie��atwe decyzje,
          zdarzaj�� si�� nieoczekiwane zwroty akcji itp.), ale te�� ma
          uzsadanienie w~fabule gry.  Ka��dy pomys�� wymaga te��
          sprawdzenia\ppauza przetestowania na kilku (w~rzeczywisto��ci
          kilkudziesi��ciu czy kilkuset) rozgrywkach i~ewentualnej
          modyfikacji (a~czasem porzucenia).
          \startitemize[packed]
            \startitem
              Zmiana liczby kamieni.
            \stopitem
            \startitem
              Zmiana liczby ko��ci (np. ka��dy gracz rzuca trzema ko����mi).
            \stopitem
            \startitem
              Mo��liwo���� kilkukrotnego (np. trzykrotnego) powt��rzenia
              rzutu wybranymi ko����mi.
            \stopitem
            \startitem
              Zabieranie kamieni w~innej liczbie ni�� wynik na kostce
              (lub suma wynik��w): mo��na rozwa��y�� iloczyn, kwadrat lub
              pierwiastek sumy, sum�� r����nic mi��dzy wynikami lub
              jeszcze inn�� funkcj��.  (Niekt��re funkcje nadaj�� si�� do
              tego kiepsko, np. kwadrat sumy prowadzi do do���� du��ych
              liczb, co jest niewygodne.)
            \stopitem
            \startitem
              Wprowadzenie uk��ad��w {\em bonusowych}, np. dwa lub trzy
              identyczne wyniki lub trzy kolejne liczby naturalne na
              kostkach mog�� da�� efekt specjalny (np. odebranie
              zebranych kamieni \ppauza w~ustalonej liczbie,
              np. zale��nej od liczby oczek\ppauza innym graczom,
              zmuszenie innych graczy do oddania kamieni do puli
              i~in.)
            \stopitem
            \startitem
              Wprowadzenie uk��ad��w {\em malusowych}, np. ka��da sz��stka
              mo��e oznacza�� konieczno���� oddania do puli lub innym
              graczom pewnej liczby kamieni itp.
            \stopitem
            \startitem
              Gracze mog�� wykonywa�� ruchy r��wnocze��nie zamiast
              kolejno.  (Trzeba ustali��, jak wtedy post��powa��, je��li
              w~trakcie ruchu sko��cz�� si�� kamienie w~puli, oraz jakie
              dok��adnie informacje s�� jawne dla pozosta��ych graczy
              w~czasie ruchu.)
            \stopitem
            \startitem
              Mo��na zmieni�� warunki zwyci��stwa, np. wygrywa�� mo��e
              gracz, kt��ry zebra�� najwi��cej kamieni, ale z~wy����czeniem
              tego, kt��ry spowodowa�� wyczerpanie puli.
            \stopitem
            \startitem
              Przy jednym rodzaju kamieni zarobione pieni��dze
              i~usuni��te zanieczyszczenia wyra��aj�� si�� t�� sam��
              liczb��.  Mo��na wprowadzi�� dwa rodzaje kamieni
              i~zr����nicowa�� te liczby, ustalaj��c, ��e np. \math{n}
              zanieczyszcze�� jest zwi��zane z~zarobieniem \math{n^2},
              \math{\sqrt{n}} lub inn�� ilo��ci�� pieni��dzy.
            \stopitem
          \stopitemize
        \stopanswer
      \stopitem
    \stopexercises
  \stopsubject
\stopchapter


\startnotmode[nauczyciel]

\page
\setuppagenumber[state=stop]

\midaligned{%
  \starttikzpicture[scale=1.8,rotate=-30]
    \hexboard{2}{10pt}
  \stoptikzpicture
}
\par\blank[6*big]
\midaligned{%
  \starttikzpicture[scale=1.8,rotate=-30]
    \hexboard{3}{10pt}
  \stoptikzpicture
}
\page
\midaligned{%
  \starttikzpicture[scale=1.8,rotate=60]
    \hexboard{4}{10pt}
  \stoptikzpicture
}
\page
\centerbox{%
  \starttikzpicture[scale=1.8,rotate=60]
    \hexboard{5}{10pt}
  \stoptikzpicture
}
\stopnotmode
\stoptext
